数学环境中做出“艺术性”的决定。培养适用于两个领域的元认知技能。调查一些超出通常对称性的问题，特别是彭罗斯（Penrose）磁贴。
- 1.到目前为止，我们对对称性提出了哪些数学性质的问题？（之间的关系，对称性的组成，根据其分类的图片，多少个，可分割的属性以及它们与“对称对象”的关系。）列出这些内容。是什么在数学（或艺术）方面提出了一个好问题？制定标准。一些学生说这个问题的答案不明显，如何解决也不是。这个问题反映了您正在观察的现象的本质。明确说明了问题，以便其他人知道他们是否知道答案。
- 2.这些问题大多数是我提出的。但是问这个问题是数学的“艺术性”部分，类似于诸如“我如何在一张纸上表达三维空间？”之类的艺术性问题。所以，现在轮到您了。分成两对，看看您的墙纸图案示例。想想关于对称性的三个问题。您已经为什么是好的问题给出了标准，因此请确保您的问题是好的。（然后，我们在董事会上列出清单。寻找导致奇怪和不同拼贴的想法的问题。）
- 3.以下是此类问题的一些示例。一个人如何根据增加的复杂性安排模式？一个人可以用规则的五边形平铺飞机吗？如果不能用规则的五边形平铺平面，不规则的五角形又如何呢？不规则的瓷砖怎么样？我们可以使它们具有五重对称性吗？
- 4.五角大楼：马乔里·赖斯。大家都知道《科学美国人》中马丁·加德纳（Martin Gardner）的数学游戏专栏吗？它运行了好几年。一年，他发表了RB Kershner的声明，声称发现了平铺平面的所有类型的凸多边形（非规则）。（每个人都知道什么是凸面吗？）读者很快就写了一个五边形的反例，加德纳出版了。那是在1975年左右。加德纳（Gardner）的一位粉丝是圣迭戈家庭主妇，五岁的母亲玛乔莉·赖斯（Marjorie Rice），他定期阅读儿子的SA。她认为寻找其他五边形的例子会很有趣。她花了两年时间，又发现了三个新的拼贴。她最高级的文凭是高中学位，为此她只参加了一门普通数学课程。学位是从1939年开始的。永远不要小看你妈妈！“出于所有实际目的：当代数学概论”
WH Freeman and Company，纽约
，COMAP，Inc.版权所有，1994年，第三版。704
这是周期性的吗？基本区域是什么？赖斯喜欢MC埃舍尔的作品，并用她的瓷砖作为艺术的基础。“为了所有实际目的：当代数学入门”
WH Freeman and Company，纽约，
彩色版2，第558页
彭罗斯（Penrose）瓷砖的一种改进，将风筝和飞镖重塑成鸟形。
[Roger Penrose的贴砖。]
- 5.五重对称性问题与不规则平铺有关。甲 非周期性 平铺是具有形状的平面的填充，使得没有平移对称性。但是，某处可能存在旋转对称性。
- 6.通常，如果一组拼贴具有非周期性的拼贴，则可以重新排列相同的拼贴以形成周期性的拼贴。这是仅包含一个形状图块的此类平铺示例。
Marjorie Senechal的“探险家指南”和“
平铺”的学生（1995年和1996年）图15由规则生成的平铺。第13页
（我们实际上通过用三种尺寸的L形瓦片制作了一个方框图来证明这一点。这很容易进行安全切割，并具有使过程清晰的优势。）用这些填充平面的证据是什么？ - 7.在1964年，发现了一组只会非周期性地瓷砖的瓷砖。您认为需要多少种不同的形状？（20,000！）1975年，罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）提出了一个只有两块瓷砖的例子。由平行四边形制成，其小角度为72度。72有什么特别之处？切成两种形状。“出于所有实际目的：当代数学概论”
WH Freeman and Company，纽约，第
710页
- 8.平行四边形的对角线除以1：[1 + sqr（5）] / 2。这个比率有什么特别之处？有一条规则说您永远不能将它们放在一起再制作平行四边形。此规则等效于在适当的边缘上进行小切口。这些被称为风筝和箭。
每对人都有一个用Safetycut制成的风筝和飞镖。用它们平铺一个区域。结果对称吗？为何如此？它是否比我们到目前为止研究的结果复杂？是什么使它复杂？您可以用其中的五种对称性制作曼陀罗吗？ - 9.风筝和飞镖是彭罗斯瓷砖的例子。您如何证明他们在飞机上铺瓷砖？
风筝和飞镖的幻灯片，解析为较大的幻灯片。这表明类似于L形块的证明。这些曾经发生在自然界吗？你怎么看？大自然会做这样的事情吗？确实如此，它们被称为准晶体。“出于所有实际目的：当代数学概论”
WH Freeman and Company，纽约，第
714页
（a）彭罗斯瓷砖，
（b）基于该瓷砖的3-d结构给出理论衍射图。
（c）锰铝合金的衍射图。
（d）铝-铜-钴合金的扫描隧道显微镜图像。
（e）相应的平铺。铝是开放中心，铜和钴是封闭中心。参考 出于所有实际目的。在哪里可以看到更多？ U. Minn。Geometry Center网站提供了更多内容，并说明了如何从三维对象构造它们。并且有五种方法来为五折的曼荼罗铺瓷砖。（2）
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